DeepSeek-AI突破：AI自動證定理，數學不再難？

DeepSeek-AI 推出 DeepSeek-Prover-V2：開源大型語言模型，專注形式定理證明，結合子目標分解與強化學習

形式數學推理已成為人工智能的一個專門分支，要求嚴格的邏輯一致性。與允許直覺和鬆散啟發式解法的非正式問題解決不同，形式定理證明要求每一步都必須完整描述、精確且可被計算機系統驗證。像 Lean、Coq 和 Isabelle 這些證明助手，提供了構建形式證明的結構框架，操作時必須保證邏輯嚴謹，不能有任何遺漏、近似或未明說的假設。這對 AI 系統尤其是大型語言模型（LLM）提出了巨大挑戰，因為它們擅長生成連貫的自然語言回答，但通常缺乏產生可驗證形式證明的嚴謹性。然而，將 AI 在非正式推理上的流暢性與形式驗證的結構嚴謹結合的需求，催生了語言模型與形式邏輯自動化界面的新創新。

目前語言模型無法跨越非正式與形式推理的鴻溝，成為一大瓶頸。這些模型善於生成類人解釋和自然語言數學問題的解答，但這類推理本質上是非正式的，缺乏形式邏輯系統所需的結構精確性。人類能直覺地跳躍推理步驟，但證明助手需要明確且無歧義的完整步驟序列。挑戰在於引導 AI 從其非正式且直觀的內部推理，產出邏輯連貫的形式化結果。這在處理如數論或幾何等高級定理時尤為複雜，因為精確性至關重要。

近年來的嘗試包括先讓模型生成自然語言的證明草稿，然後手動或半自動轉換成形式證明步驟。一種常見策略是將複雜定理分解為多個子目標，每個子目標為獨立處理的小引理，最後合併成完整證明。像“Draft, Sketch, and Prove”框架就利用語言模型產生證明大綱，再轉為形式語言。另一方法採用層級強化學習，將複雜數學問題分解為多層簡化問題。然而，這些模型往往難以在 Lean 或 Coq 環境中產生完全可驗證的輸出，且訓練數據有限，證明嘗試經常失敗，無法提供有效學習信號。

DeepSeek-AI 的研究團隊推出了 DeepSeek-Prover-V2，利用子目標分解與強化學習來生成形式數學證明。其核心方法是用 DeepSeek-V3 將複雜定理分解為可管理的子目標，每個子目標轉譯為 Lean 4 的“have”語句，並用佔位符標記尚未完成的證明。這些子目標交由一個 7 億參數大小的證明模型逐步完成。當所有步驟解決後，整合成完整的 Lean 證明，並與 DeepSeek-V3 生成的原始自然語言推理配對，形成豐富的冷啟動強化學習數據集。值得注意的是，模型訓練完全基於合成數據，沒有使用人工標註的證明步驟。

冷啟動流程首先由 DeepSeek-V3 生成自然語言證明草稿，再轉化為帶有未解部分的形式定理語句。創新之處在於利用 7B 證明器遞歸解決各子目標，減少計算成本同時保持形式嚴謹。研究團隊設計了課程學習框架，逐步增加訓練任務難度，並實施兩種子目標定理：一種將前置子目標作為前提，另一種則獨立處理。這種雙重結構嵌入專家迭代階段，讓模型在逐漸挑戰更高難度問題時持續學習。訓練中還引入基於一致性的獎勵系統，確保所有分解引理都正確納入最終形式證明中。

在 MiniF2F-test 基準測試中，該模型以高採樣率（Pass@8192）達到 88.9% 通過率，優於 Kimina-Prover 的 82.0% 和 Geodel-Prover 的 64.7%。在 PutnamBench（包含挑戰性數學題目的平台）中，模型成功解決了 658 題中的 49 題。新推出的 ProverBench 數據集涵蓋 325 個形式化問題，模型在 2024 和 2025 年的美國邀請數學競賽（AIME）中解決了 15 題中的 6 題。這些基準證明了模型在多種形式推理任務上的泛化能力。與採用自然語言推理的 DeepSeek-V3 相比，DeepSeek-Prover-V2 不但在形式可驗證性上有保障，且解題數量相當，展現出優異的競爭力。

DeepSeek-Prover-V2 研究的幾大亮點：

– MiniF2F-test 通過率達 88.9%（Pass@8192），為目前形式推理模型中最高紀錄。
– 成功解決 PutnamBench 658 題中的 49 題，涵蓋高階數學挑戰。
– 在 AIME 2024-2025 比賽中解決 15 題中的 6 題，展現實戰應用潛力。
– 推出新基準 ProverBench，包含 325 個形式化問題，用於評估形式推理模型。
– 結合 DeepSeek-V3 和 7B 證明器，實現自然語言證明草稿與形式證明構建的統一流程。
– 採用兩種子目標分解策略（有依賴前提與無依賴前提），並透過課程學習結構化訓練。
– 利用基於一致性的強化學習獎勵，顯著提升證明準確度，確保草稿與解答結構對齊。
– 全訓練策略基於合成冷啟動數據，免除對人工標註證明的依賴。

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評論與啟示：

DeepSeek-Prover-V2 的推出，標誌著大型語言模型在形式數學推理領域邁出重要一步。它成功將自然語言的靈活性與形式證明的嚴謹性結合，透過子目標分解和強化學習的策略，克服了過去模型在精確性和可驗證性上的短板。這種方法不僅提高了證明成功率，也展示了 AI 在數學自動化證明上的廣泛應用潛力，對學術研究和教育均有深遠影響。

然而，仍有挑戰值得關注。首先，模型完全依賴合成數據，未來如何引入高質量人工標註數據或真實世界數學證明，可能進一步提升模型的泛化能力和穩定性。其次，儘管在多個基準表現優異，模型對極端複雜或尚未形式化的數學領域仍面臨挑戰。最後，形式證明的可解釋性和人機協作流程的優化，也是推廣應用的關鍵。

未來研究或可探討如何結合更多多模態數據（如圖形、結構化數據）提升模型理解力，以及如何與人類數學家更緊密協同，實現真正智能的數學助手。此外，這種技術在其他嚴謹推理領域（如法律、程式驗證）同樣具有巨大應用前景。DeepSeek-Prover-V2 不只是數學 AI 的里程碑，也為跨領域智能推理樹立了新標杆。

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