2024年數學回顧
由於人工智能的進步，數學領域在2024年迎來了許多重要的突破，尤其是在幾何學和數論方面。這些成就不僅標誌著數學的發展，還暗示了未來可能的研究方向。
今年5月，一組九位數學家宣布了一項重大突破，證明了被稱為幾何Langlands猜想的理論。這一猜想是為了建立一個“統一數學理論”而進行的廣泛研究計劃中的核心部分。這項證明總計超過800頁，標誌著30年努力的結晶。正如一位數學家所說，這是一項“冠冕上的成就”。
另一位數學家則表示：“這是一項美麗的數學。”這項成就之所以卓越，不僅因為它解決了一個重大未解問題，還因為它促成了深刻而意想不到的連結。數學的偉大成果往往源於數學家們將看似無關的想法進行對話，打破不同研究領域之間的障礙。幾何Langlands猜想的證明正是這樣的結果。
此外，2024年還有多項幾何學的里程碑性證明。一些證明終結了數十年的猜想，而另一些則提供了驚人的反例。然而，這些突破並非突如其來，而是數十年努力的結果，通過不斷的逐步積累而成。今年，在數論方面也出現了許多令人興奮的結果，涉及著名的難題，例如黎曼猜想和abc猜想。
數學的進步通常是這樣的：這裡有一個新想法，那裡又有一個新想法，直到曾經看似完全不可能的事情變得稍微可行。
幾何Langlands猜想的證明
2024年最重要的成果之一來自於Langlands計劃，這是一個雄心勃勃的、已有50年歷史的願景，旨在將數學研究的不同領域連接起來。該計劃的目標是重新繪製數學的地圖，將它的各個部分融合成一個統一的整體。
然而，實際證明Langlands計劃中的結果往往是極其困難的。這些聲明本身非常複雜和技術性，證明它們所需的技巧更是艱深。1980年代，一位數學家提出了該計劃一個關鍵組件的幾何版本——幾何Langlands猜想，涉及一種名為“層”的抽象數學對象。這一猜想被視為Langlands計劃的核心部分，但數十年來無人能解，直到今年。這一證明對整個計劃來說是巨大的助力，數學家們期待在接下來的幾年中探索其深遠的影響。
人工智能的日益重要性
隨著新型人工智能系統如ChatGPT的推出，其數學能力曾引起不少笑話，因為這些聊天機器人連簡單的加法都無法正確完成。然而，今年，來自Google DeepMind的新模型使AI成為國際數學奧林匹克競賽的嚴肅競爭者。該公司在1月宣布了AlphaGeometry，這是一種能夠幾乎與人類金牌得主一樣解決幾何問題的模型。不久之後，AlphaGeometry 2便能輕鬆獲得金牌，並且與Google的大型語言模型Gemini集成後，能夠解決更一般的問題，甚至在整個奧林匹克考試中獲得銀牌。DeepMind稱這一最新模型為AlphaProof。
AlphaProof的成就是一個巨大的突破，展示了人工智能日益增強的數學能力，並為未來該技術如何在原始研究中作為“副駕駛”提供了希望。
圓球包裝問題的突破
圓球包裝問題的表述簡單：如何安排相同的圓球，以填滿盡可能多的空間而不重疊？在三維空間中，可以像超市裡堆橙子一樣將圓球堆成金字塔狀。但在更高維度中呢？
直到2016年，烏克蘭數學家Maryna Viazovska證明了特定的晶格在八維和二十四維空間中是最佳的包裝方式。在其他維度中，確切的答案仍然未知。今年4月，Quanta報導了75年來在這一版本的圓球包裝問題上的首次重大進展。這一結果改善了之前的包裝效率，並採用了新穎的方法：數學家們利用圖論以非常無序的方式包裝圓球，而不是像Viazovska那樣以有序的方式進行包裝。
數論中的重要步驟
解決這些主要幾何問題就像在數學的風景中建立高聳的紀念碑。然而，為未來的紀念碑奠定更好的基礎同樣至關重要。2024年，數學家們在數論方面取得了關鍵的進展，雖然這些進展是逐步的，但卻對理解該領域的一些重要問題至關重要。
例如，兩位數學家證明了對黎曼猜想可能例外數量的新估計，這被認為是數學中最大的未解問題。這項工作不僅打破了80年來的紀錄，還導致了對素數分布的新結果。
同樣，三位研究生對必然包含均勻間隔數字模式的集合大小進行了更好的估算，這是數學中“Szemeredi問題”幾十年來首次取得的進展。
儘管這些數論問題的解決仍然遙遙無期，但數學家們的逐步接近使他們開發出強大的新工具和啟發性的視角。誰能預見2025年及以後會發生什麼呢？
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